สมบัติของการบวก

สมบัติการสลับที่

4 + 2 = 2 + 4

การบวกมีสมบัติการสลับที่ หมายความว่าเราสามารถสลับเปลี่ยนจำนวนที่อยู่ข้างซ้ายและขวาของเครื่องหมายบวกได้ โดยผลลัพธ์ยังคงเดิม สมมติให้ a และ b เป็นจำนวนสองจำนวนใดๆ แล้ว

a + b = b + a

ข้อเท็จจริงว่าการบวกสามารถสลับที่ได้ รู้จักกันว่าเป็น กฎการสลับที่ของการบวก ซึ่งวลีนี้ได้ชี้นำว่า ยังมีกฎการสลับที่อื่นๆ อีก ตัวอย่างเช่นกฎการสลับที่ของการคูณเป็นต้น อย่างไรก็ตามการดำเนินการทวิภาคหลายชนิดก็ไม่มีสมบัติการสลับที่ อาทิการลบหรือการหาร จึงนำไปสู่ความเข้าใจผิดว่า กฎการสลับที่ นั้นไม่มีอยู่จริง

สมบัติการเปลี่ยนหมู่

2 + (1 + 3) =
(2 + 1) +3

อีกสมบัติหนึ่งของการบวกคือสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อเราพยายามนิยามการบวกที่ซ้ำๆ กัน อย่างนิพจน์ต่อไปนี้

a + b + c

จะนิยามว่าอย่างไรระหว่าง (a + b) + c หรือ a + (b + c) ในเมื่อการบวกสามารถเปลี่ยนหมู่ได้ ดังนั้นตัวเลือกทั้งสองจึงไม่สำคัญ สำหรับสามจำนวนใดๆ a, b, c ประโยคต่อไปนี้จะเป็นจริง

(a + b) + c = a + (b + c)

ตัวอย่างเช่น (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) แต่ก็ไม่ใช่ทุกการดำเนินการจะมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ดังนั้นในนิพจน์ที่มีการดำเนินการอย่างอื่นเช่นการลบ การระบุลำดับของการดำเนินการ (order of operations) จึงเป็นสิ่งที่สำคัญ

ศูนย์และหนึ่ง

5 + 0 = 5

เมื่อบวกศูนย์เข้ากับจำนวนใด ปริมาณที่ได้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากศูนย์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของการบวก หรือเรียกได้ว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก สำหรับค่า a ใดๆ จะได้ว่า

a + 0 = 0 + a = a

กฎนี้ปรากฏเป็นครั้งแรกในตำรา พรัหมสผุฏะ สิทธานตะ (Brahmasphuta-siddhanta) เขียนโดยพรัหมคุปตะ (Brahmagupta) เมื่อ ค.ศ. 628 ถึงแม้ว่าเขาจะเขียนกฎนี้แยกออกมาเป็นสามข้อ โดยขึ้นอยู่กับ a ว่าเป็นจำนวนลบ จำนวนบวก หรือเป็นศูนย์ และเขาใช้ถ้อยคำอธิบายแทนการใช้สัญลักษณ์

ในเวลาต่อมา มหวิระ ได้เรียบเรียงแนวความคิดนั้นเสียใหม่เมื่อประมาณ ค.ศ. 830 โดยเขียนไว้ว่า

"...ศูนย์จะทำให้ตัวอะไรก็ตามที่บวกเข้ามามีค่าเช่นเดิม..."

เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค 0 + a = a 

และในคริสต์ศตวรรษที่ 12 ภาสกระที่ 2 ก็ได้เขียนเอาไว้ว่า

"...ในการบวกของสิ่งที่ไม่มีค่า [ศูนย์] หรือการลบของมัน ปริมาณ ไม่ว่าจำนวนบวกหรือจำนวนลบ จะยังคงเหมือนเดิม..."

เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค a + 0 = a 

ในบริบทของจำนวนเต็ม การบวกด้วยหนึ่งจะทำให้เกิดบทบาทพิเศษ นั่นคือสำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ จำนวน a + 1 จะเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า a หรือเรียกได้ว่าเป็น ตัวตามหลัง(successor) ของ a และเนื่องจากการเกิดตัวตามหลังในกรณีเช่นนี้ ผลของ a + b จึงมองได้ว่าเป็นตัวตามหลังตัวที่ b ของ a ซึ่งเกิดจากการบวกด้วยหนึ่งซ้ำๆ กัน

หน่วย

เพื่อที่จะบวกปริมาณทางกายภาพซึ่งมีหน่วยกำกับอยู่ ปริมาณเหล่านั้นจะต้องถูกทำให้อยู่ในหน่วยร่วมกันก่อน ตัวอย่างเช่น ระยะความยาว 5 ฟุต และขยายออกไปอีก 2 นิ้ว ผลบวกของความยาวคือ 62 นิ้ว เนื่องจากความยาว 60 นิ้วมีความหมายเหมือนกับความยาว 5 ฟุต ในอีกทางหนึ่ง หน่วยที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ก็จะไม่สามารถรวมกันได้ เช่นการบวกระยะทาง 3 เมตรกับพื้นที่ 4 ตารางเมตร การบวกเช่นนี้จะไร้ความหมาย การพิจารณาว่าหน่วยใดสามารถเปรียบเทียบกันได้ เป็นความรู้พื้นฐานของการวิเคราะห์มิติ (dimensional analysis)

ที่มา http://goo.gl/NxPWIa